Die schwarzen Lücken haben eine Fläche von rund 0,262683. Dies entspricht rund 6,567 Prozent der Fläche des Quadrats.

Um die Lücken zu berechnen, müssen wir von der Quadratfläche (= 4) die Flächen des Halbkreises und der beiden Viertelkreise abziehen. Dabei ist allerdings zu beachten, dass sich die Viertelkreise überlappen und diese Überlappungsfläche noch von der Summe der Flächen der Viertelkreise abgezogen werden muss, damit sie nicht doppelt in der Rechnung auftaucht.

r_H ist der Radius des Halbkreises, r_V der Radius der Viertelkreise. r_H ist 1, die Fläche des Halbkreises beträgt Pi/2 * r_H² und somit Pi/2. r_V können wir mit dem Satz des Pythagoras berechnen – siehe folgende Skizze. Das rechtwinklige Dreieck rechts hat Katheten mit den Längen 2 und 1 und eine Hypotenuse mit der Länge r_H + r_V. Daraus folgt: r_V = Wurzel(5) – 1. Die Fläche der beiden Viertelkreise zusammen ist daher
Pi/2 * (Wurzel(5) – 1)².

Für die Fläche des Kreissegments gilt die Formel:

1/2 * r_V² * (x – sin(x)

x ist dabei der Winkel des Kreissektors angegeben nicht in Grad, sondern als Radiant, auch Bogenmaß genannt. Mit der Funktion Arkuskosinus können wir x berechnen. Es gilt:

x/2 = arccos(r_H/r_V)
x/2 = arccos(1 / (Wurzel(5) – 1))
x/2 = 0,62831854...
x = 1,25663708...

Wenn wir x in die Formel oben einsetzen, erhalten wir die Fläche des Kreissegments und schließlich die Summe der schwarzen Lücken. Sie beträgt rund 0,262683.