Glück hilft, um ein Spiel zu gewinnen. Aber eine gute Strategie ist auch wichtig. Und die ist beim folgenden Spiel gesucht. Zwei Personen ziehen abwechselnd je eine Kugel aus einem Sack. Alle 20 Kugeln darin fühlen sich gleich an.

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Aber die Kugeln unterscheiden sich: 19 sind schwarz lackiert und eine ist weiß. Wer die weiße Kugel zieht, hat gewonnen.

Eine der beiden Personen hat den ersten Zug, die andere den zweiten. Wenn man die Wahl hätte: Wäre es dann besser, die erste Kugel aus dem Sack zu ziehen? Oder sind die Gewinnchancen höher, wenn man den zweiten Zug hat?

Es ist egal, ob man die erste Kugel zieht oder die zweite. Die Gewinnchancen für beide Spieler sind gleich groß und betragen 50 Prozent.

Ein klassischer Denkfehler bei dieser Knobelei ist der folgende: Die beginnende Person zieht mit p=1/20 die weiße Kugel. Bei der zweiten Person beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/19 (was nicht stimmt!), deshalb hat sie die höheren Gewinnchancen.

Die Wahrscheinlichkeit für Person eins ist richtig berechnet. Bei Person zwei gibt p=1/19 jedoch die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel an unter der Bedingung, dass Person eins die weiße Kugel nicht gezogen hat. Wir müssen diese bedingte Wahrscheinlichkeit deshalb noch mit 19/20 multiplizieren. Und dann erwischt auch Person zwei mit p = 1/19 * 19/20 = 1/20 die weiße Kugel.

Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine der beiden Personen in Runde eins die weiße Kugel bekommt, sind daher gleich groß. Und das gilt dann analog auch für Runde zwei, drei, vier ... bis zur letzten Runde, der zehnten.

Ein eleganter Beweis dafür, dass beide Spieler mit gleich großer Wahrscheinlichkeit gewinnen, ist der folgende: Stellen wir uns vor, die 20 Kugeln werden zufällig in eine Reihe gelegt und die beiden Spieler nehmen dann beginnend von ganz vorn immer die nächste Kugel. Wir nummerieren die Kugeln durch von 1 (ganz vorn) bis 20 (ganz hinten).

• Spieler eins (der zuerst ziehende) bekommt dann die Kugeln 1, 3, 5, 7, ... bis 19. Also alle ungeradzahligen. Das sind genau zehn.

• Spieler zwei (der als zweiter ziehende) bekommt die Kugeln 2, 4, 6, 8, ... bis 20. Also alle geradzahligen. Das sind ebenfalls zehn.

Welche Nummer hat die weiße Kugel? Weil wir die Kugeln zufällig in eine Reihe gelegt haben, hat jede Position eine gleich große Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Nummer ist genauso groß wie für eine ungerade – in beiden Fällen beträgt sie p=1/2. Und deshalb gewinnen beide Spieler mit p=1/2.

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